Pengertian Barisan dan Deret
1.)Pengertian Barisan dan Deret
1. Barisan Bilangan
Perhatikan susunan bilangan berikut :
a. 1, 2, 3, 4, 5,…; dinamakan barisan bilangan asli
b. 2, 4, 6, 8, 10,…; dinamakan barisan bilangan asli genap
c. 1, 3, 6, 10, 15,…; dinamakan barisan bilangan segitiga
d. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,…; dinamakan barisan bilangan Fibonacci
Bilangan-bilangan yang membentuk suatu barisan disebut suku-suku barisan. Bilangan pertama atau suku pertama dilambangkan dengan u1, suku kedua dengan u2, suku ketiga dengan u3, suku ke-k dengan uk,…, demikian seterusnya sampai suku ke-n dengan un (n bilangan asli).
Indeks n menyatakan banyaknya suku dalam barisan itu. Untuk nilai n bilangan asli berhingga, barisan itu dinamakan barisan berhingga. Suku ke-n dilambangkan dengan undisebut suku umum barisan. Pada umumnya, suku ke-n atau un merupakan fungsi dengan daerah asal (domain) bilangan asli n.
Barisan bilangan adalah susunan bilangan yang memiliki pola atau aturan tertentu antara satu bilangan dengan bilangan berikutnya. Jika bilangan pertama u1, bilangan kedua u2, bilangan ketiga u3, …, dan bilangan ke-n adalah un, maka barisan bilangan itu dituliskan sebagai
u1, u2, u3, ... , uk, ... , un
Contoh :
1) Tentukan tiga suku pertama pada barisan berikut ini, jika suku ke-n dirumuskan sebagai un = 3n + 1
Jawab :
Suku ke-n, un = 3n + 1
Untuk n = 1, diperoleh u1 = 3(1) + 1 = 4
n = 2, diperoleh u2 = 3(2) + 1 = 7
n = 3, diperoleh u3 = 3(3) + 1 = 10
Jadi, tiga suku pertama barisan itu adalah u1 = 4, u2 = 7, dan u3 = 10.
1) Tentukan rumus umum suku ke-n untuk barisan berikut ini, jika empat buah suku pertama diketahui sebagai berikut.
a) 4, 6, 8, 10, . . . b) 1, 9, 25, 49, . . .
Jawab :
a) 4, 6, 8, 10, . . .; barisan dengan suku pertama u1 = 4 dan selisih dua suku yang berurutan bernilai konstan sama dengan 2.
Jadi, un = 2n + 2
b) 1, 9, 25, 49, . . .; dapat ditulis sebagai (1)2, (3)2, (5)2, (7)2, ...; barisan dengan suku-sukunya merupakan kuadrat dari bilangan asli ganjil.
Jadi, un = (2n – 1)2.
2. Deret
Perhatikan kembali barisan Jika suku-suku tersebut dijumlahkan dalam bentuk u1, u2, u3, ... , uk, ... , un, maka penjumlahan barisan tersebut dinamakan deret. Jumlah suku-suku pada barisan hingga n suku pertama dinyatakan dengan Sn. Misalnya jumlah 5 suku pertama ditulis Sn = u1 + u2 + u3 + u4 + u5 .
Contoh :
1) Diketahui suatu deret 2 + 4 + 6 + …, hitunglah jumlah 5 suku pertama.
Jawab:
Sn = 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30
Jadi, jumlah 5 suku pertama deret tersebut adalah 30.
B. Barisan Aritmatika
Perhatikan barisan aritmatika 1, 3, 5, 7,… dan 2, 4, 6, 8,….; setiap selisih anatara dua suku yang berurutat adalah tetap nilainya yaitu:
3-1 = 5-3 = 7-5 =…= 2
4-2 = 6-4 = 8-6 =…= 2
Secara umum u1, u2, u3, ... , un adalah barisan aritmatika apabila u2 – u1 = u3 – u2 = u4 – u3 =konstanta. Konstanta ini disebut beda dan dinyatakan dengan b.
Sehingga barisan aritmatika dapat kita definisikan sebagai berikut:
Barisan aritmatika adalah suatu barisan dengan selisih (beda) antara dua suku yang berurutan selalu tetap. Bentuk umum :
u1, u2, u3, ... , un atau
a, ( a + b ), ( a + 2b ), ... , (a + (n – 1) b)
Pada barisan aritmatika, berlaku un – un-1 = b , sehingga un = un-1 + b.
a. Rumus umum suku ke-n pada Barisan Aritmatika
Misalkan suatu barisan aritmatika dengan suku pertama a dan beda b, maka suku barisan itu dapat divisualisasikan sebagai berikut :
I u1 = a
I u2 = a + b
I u3 = a + 2b
I u4 = a + 3b
I un = a + ( n -1 ) b
Berdasarkan pola atau keteraturan suku-suku barisan di atas, maka rumus suku ke-n untuk barisan aritmatika dapat ditentukan dengan hubungan berikut.
Misalkan suatu barisan aritmatika dengan suku pertama a dan beda b, rumus umum suku ke-n dari barisan aritmatika itu ditentukan oleh :
I un = a + ( n -1 ) b
Contoh :
1) Carilah suku pertama, beda, dan suku ke-6 dari barisan aritmatika 4, 1, -2, -5, . . .
Jawab :
Barisan 4, 1, -2, -5, …
Suku pertama u1 = a = 4,
Beda b = 1 – 4 = -3,
Suku ke-6 u6 = a + 5b = 4 + 5(-3) = -11
Jadi, suku pertama a = 4, beda b = -3, dan suku ke-6 adalah u6 = 11
b. Suku tengah pada barisan aritmatika
Suku tengah suatu barisan aritmatika dapat ditentukan melalui deskripsi berikut ini.
Misalkan barisan aritmatika yang terdiri dari atas (2k-1) suku : u1, ... ,uk, ... , u2k-1, maka suku tengahnya adalah uk.
Suku tengah uk = a + (k-1) b = ½{2a+2(k-1)b} = ½{a+a+(2k-2)b} = ½ {u1 + u2k-1}. Jadi, suku tengahnya ditentukan oleh hubungan uk = ½ {u1+u2k-1}.
Contoh :
1) Diketahui barisan aritmatika 3, 5, 7, 9, …, 95. Banyak suku pada barisan itu adalah ganjil.
a) Carilah suku tengahnya
b) Suku keberapakah suku tengahnya itu?
c) Berapakah banyak suku barisan itu?
Jawab :
a) Barisan 3, 5, 7, 9, …, 95. Suku pertama a = u1 = 3, beda b = 2, dan suku terakhir u2k-1= 95.
uk = ½ (u1+u2k-1) = ½ (3 + 95) = 49
Jadi, suku tengahnya adalah 49.
b) Dari hasil a), diperoleh :
U uk = a + ( k-1) b = 49
⇔ 3 + (k-1)2 = 49
⇔ 2k = 48
⇔ k = 224
Jadi, suku tengahnya adalah suku ke-24.
c) Banyaknya suku barisan itu sama dengan 2k – 1 = 2(24) – 1 = 47.
c. Sisipan pada barisan aritmatika
Misalkan diantara dua bilangan real x dan (dengan x ≠ y ) akan disisipkan sebanyak k buah bilangan ( k bilangan asli). Bilangan – bilangan semula dengan bilangan-bilangan yang disisipkan itu membentuk suatu barisan aritmatika. Susunan bilangan-bilangan semula dengan bilangan-bilangan yang disisipkan dapat divisualisasikan dengan menggunakan bagan sebagaimana diperlihatkan berikut ini.
Di antara dua bilangan x dan y disisipkan sebanyak k buah bilangan sehingga bilangan-bilangan semula dengan bilangan-bilangan yang disisipkan membentuk barisan aritmatika. Nilai beda barisan aritmatika yang terbentuk dapat ditentukan dengan menggunakan hubungan
b =( y – x) / (k + 1)
Dengan x dan y bilangan real (x ≠ y ) dan k bilangan asli.
Contoh :
1) Di antara bilangan 4 dan 28 disisipkan 5 buah bilangan sehingga bilangan-bilangan semula dengan bilangan-bilangan yang disisipkan membentuk barisan aritmatika. Carilah beda dari barisan aritmatika yang terbentuk.
Jawab :
Diketahui x = 4, y = 28, dan k = 5
Didapat b =( y – x) / (k + 1) = (28-4)/(5+1)=4
Jadi, beda barisan aritmatika yang terbentuk adalah b =4 .
A. Deret Aritmatika
Jumlah beruntun suku-suku suatu barisan aritmatika disebut sebagai deret aritmatika. Sebagai contoh :
· Dari barisan aritmatika 1, 3, 5, 7, …, 99 dapat dibentuk deret aritmatika 1 + 3 + 5 + 7 + … + 99,
· Dari barisan aritmatika 2, 4, 6, 8, …, 2n dapat dibentuk deret aritmatika 2 + 4 + 6 + 8 + … + 2n.
Dari contoh di atas dapat disimpulkan, jika u1, u2, u3, ... , un, merupakan suku – suku barisan aritmatika, maka u1 + u2 + u3 + ... + un dinamakan sebagai deret aritmatika.
a. Rumus jumlah n suku pertama deret aritmatika
Jumlah n suku pertama deret aritmatika dilambangkan dengan Sn , dan Sn ditentukan oleh :
Sn = u1 + u2 + u3 + ... + un-2 + un-1 + un
Substitusikan u1 = a, u2 = a+b, u3 = a+2b , un-2 = un – 2b, un-1 =un – b; diperoleh
Sn = a + (a+b) + (a+2b) + ... + (un – 2b) + (un – b) + un …(*)
Jika urutan suku-suku penjumlahan pada persamaan (*) itu dibalik, diperoleh:
Sn = un + (un – b) + (un – 2b) + ... + (a+2b) + (a+b) + a … (**)
Jumlahkan masing masing ruas pada persamaan (*) dengan persamaan (**), sehingga diperoleh :
Berdasarkan hasil perhitungan tersebut, jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika dapat ditentukan melalui hubungan sebagai berikut.
Jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika u1 + u2 + u3 + ... + un ditentukan dengan menggunakan hubungan :
Sn = n/2 (a+ un)
Dengan n = banyak suku, a = suku pertama, dan un = suku ke-n.
a. Sifat-sifat Sn pada deret aritmatika
Jumlah n suku pertama deret aritmatika mempunyai sifat-sifat sebagai berikut.
1. Sn = n/2 (a+ un) merupakan fungsi kuadrat dari n (n bilangan asli) yang tidak memiliki suku tetapan.
2. Untuk setiap n bilangan asli berlaku hubungan Sn - Sn-1 = un (Suku ke-n).
Contoh :
1) Hitunglah jumlah deret aritmatika 2 + 4 + 6 + … + 60.
Jawab :
Untuk menghitung jumlah deret pada soal di atas, perlu ditentukan terlebih dulu banyak suku atau n melalui hubungan un = a + (n-1)b.
2 + 4 + 6 + … + 60, a = 2, b = 2, dan un = 60
60 = 2 + (n-1) 2
⇔ 60 = 2n
⇔ n = 30
S30 = 30/2 (a+ u30) = 15(2+60) = 930
Jadi, jumlah deret aritmatika 2 + 4 + 6 + … + 60 adalah S30 = 930
Contoh Soal
1.)Sebuah barisan aritmatika memiliki jumlah suku ganjil. Jika suku pertamanyanya 4 dan suku terakhirnya adalah 20, maka suku tengahnya adalah:
a. 12
b. 8
c. 10
d. 16
Pembahasan
a = 4
Un = 20
Ut= a + Un2 = 20 + 42= 12
Jawab : a
2.)Terdapat sebuah barisan aritmatika sebanyak tujuh suku. Jika suku pertama dan nilai bedanya adalah 2. Berapakah suku tengahnya ?
a. 9
b. 8
c. 10
d. 12
Pembahasan:
a = 2
b = 2
n = 7
Ut= a + (n-1)b2 Ut= a + (n-1)b2 = 2 + (7-1)22 = 8
Jawab : b
3.)Diketahui suatua barisan aritmatika :2, 5, 8, 11, 14, .........Un. Tentukan rumus suku ke-n dalam barisan aritmetika tersebut:
a. Un = 3n -1
a. Un = 3n -2
c. Un = 3n + 1
d. Un = 3n + 3
Pembahasan:
a = 2
b = 3
Un= a + (n-1)b
Un= 2 + (n-1)3 = 2 + 3n - 3 = 3n-1
Jawab : a
4.)Diketahui U2 + U4 = 12 dan U3 + U5 = 16, maka suku ke-7 barisan itu adalah
a. 15
b. 14
c. 12
d. 10
Pembahasan
Dari penjumlahan suku ke-2 dan ke-4 :
(1) U2 +U4 = 12
⇒ (a + b) + (a + 3b) = 12
⇒ 2 a + 4b = 12
⇒ a + 2b = 6
Dari penjumlahan suku ke-3 dan ke-5 :
(2) U3 + U5 = 16
⇒ (a + 2b) + (a + 4b) = 16
⇒ 2a + 6b = 16
⇒ a + 3b = 8
Langkah berikutnya, kita akan melakukan substitusi persamaa 1 ke persamaan 2:
a + 2b = 6
a = 6 – 2b.... substitusi ke persamaan (2)
Persamaan (2):
a + 3b = 8
⇒ 6 – 2b + 3b = 8
⇒ 6 + b = 8
⇒ b = 2
Karena b = 2, maka a = 6 – 2(2) = 6 – 4 = 2.
Jadi, suku pertama barisan itu adalah 2 dan suku ke-7 barisan aritmatika tersebut adalah :
U7 = a + 6b
⇒ U7 = 2 + 6(2) ⇒ U7 = 14
Jawab: b
5.)Dalam sebuah barisan aritmatika diketahui suku kedua adalah 5 dan suku kelima adalah 14. Maka berapakah jumlah 10 suku pertama dari barisan aritmatika tersebut ?
a. 210
b. 300
c. 430
d. 155
Pembahasan:
Suku Kedua :
⇒ U2 = 5
⇒ a + b = 5
⇒ a = 5 - b...(Persamaan 1)
Suku Kelima :
⇒ U5 = 14
⇒ a + 4b = 14...(Persamaan 2)
Substitusi Persamaan 1 ke Persamaan 2
⇒ a + 4b = 14
⇒ 5 - b + 4b = 14
⇒ 3b = 9
⇒ b = 3
Jadi a = 5 -b
⇒ a = 5 - 3 = 2
Jumlah 10 suku pertama:
⇒ Sn=n2 (a+Un)
⇒ S10=102 (a+U10)
⇒ S10= 5 (a + a + 9b)
⇒ S10= 5 (2 + 2 + 9.3)
⇒ S10= 155
Jawab: d
6.)Diketahui sebuah barisan geometri 3, 6, 12....maka suku ketujuh dari barisan geometri tersebut :
a. 128
b. 192
c. 64
d. 190
Pembahasan
a = 3
r = 2
Un = ar(n-1)
⇒ 3.2(7-1)
⇒ 3.2(7-1)
⇒ 192
Jawab : b
7.)Diketahui sebuah barisan geometri : 3, 9, 27, 81, 243. Berapakah rasio barisan geometri tersebut :
a. 4
b. 3
c. 2
d. 9
Pembahasan
Kita ambil dua bilangan terakhir yaitu : 81 dan 243, maka:
Un = 243
U(n-1) = 81
Sehingga nilai rasio (r) :
r = UnU(n-1) = 24381 = 3
Jawab :b
8.)Diketahui sebuah barisan geometri : 5, 10, 20, 40, 80, .... , 5120. Nilai suku tengahnya adalah :
a. 160
b. 320
c. 510
d. 640
Pembahasan
a = 5
Un = 5120
Ut = √a . Un
Ut = √5 . 5120 = √25600 = 160
Jawab :a
9.)Terdapat sebuah barisan geometri sebanyak lima suku. Jika suku pertamanya adalah 3 dan rasionya adalah 3. Berapakah suku tengahnya ?
a. 27
b. 81
c. 243
d. 9
Pembahasan
a = 3
r = 3
n = 5
Ut = √a . rn = √3 . 35=729 = 27
Jawab : a
10.)Diketahui suatu barisan aritmatika suku pertamanya adalah 4 dan suku ke-20 adalah 61. Tentukan beda barisan aritmatika tersebut!
a.5
b.7
c.8
d.4
e.3
Penyelesaian:
a = 4
U20 = 61
Un = a + (n-1) b
U20 = 4 + (20-1) b
61 = 4 + (19)b
61-4 = 19b
U20 = 61
Un = a + (n-1) b
U20 = 4 +(20-1) b
61 = 4 + (20-1) b
61 – 4 = 19b
57 = 19b
b = 57/19 = 3
Jawab: d
2.)LOGARITMA DAN EKSPONEN
EKSPONEN
Pengertian Eksponen
Eksponen merupakan perkalian bilangan yang sama secara berulang. Sebagai contoh, jika kita mengalikan angka 7 secara berulang sebanyak 4 kali, yaitu 7×7×7×7, kita dapat menuliskannya dengan 74 = 2401
Secara umum, an = a×a×a….×a dengan a sebanyak n kali. Artinya, kita mengalikan a secara berulang sebanyak n kali. (an dibaca “a pangkat n”).
Eksponen biasa juga disebut dengan pangkat. Pada perpangkatan an, a disebut sebagai basis bilangan pokok dan n disebut sebagai pangkat.
Sifat-Sifat Eksponen:
Eksponen bilangan bulat positif, yaitu :
am × an = am+n
Secara umum untuk mengalikan bilangan-bilangan berpangkat dengan bilangan pokok sama, jumlahkan pangkatnya saja sedangkan bilangan pokoknya tetap sama.
Misalkan : a3×a4 = (a×a×a) × (a×a×a×a) = a3+4 = a7
(am)n = amn
Untuk mencari pemangkatan dari suatu bilangan berpangkat, kalikan pangkatnya saja sedangkan bilangan pokoknya tetap sama.
Misalkan : (a5)2 = a5×2 = a10
a^m/a^n = am-n (m>n dan a≠0)
Untuk membagikan bilangan-bilangan berpangkat dengan bilangan pokok sama, kurangkan pangkatnya saja sedangkan bilangan pokoknya tetap sama.
Misalkan : 3^7/3^4 = 3^(7-4) = 3^3 = 27
(ab)m = am × bm
Untuk memangkatkan suatu hasil kali, pangkatkan setiap faktor dari hasil kali tersebut dengan pangkatnya.
Misalkan : (2×4)3 = 2^3×4^3=8×64= 512
(a/b)^m = a^m/b^m (b≠0)
Untuk memangkatkan suatu hasil bagi, pangkatkan pembilang dan penyebut dari hasil bagi tersebut dengan pangkatnya.
Misalkan :(6/3)^3=6^3/3^3 = 216/27 = 8
Eksponen bulat negatif dan nol :
a0 = 1 jika a ≠ 0
misal p = 0
diperoleh : ap × aq = ap+q = a0+q = aq
a0 × aq = 1 × aq = aq
jadi a0 = 1
a-n = 1/a^n
Eksponen rasional :
a^(m/n) = (√(n&a))^m = √(n&a^m ) jadi a^(m/n)= √(n&a^m )
(√(n&a))^n= a
√(n&ab) = √(n&a) × √(n&b)
√(n&a/b) = √(n&a)/√(n&b)
a^(1/n) = √(n&a) (dimana n adalah bilangan bulat positif)
√(m&√(n&a)) = √(mn&a)
Fungsi Eksponen
Fungsi basis a adalah fungsi yang mempunyai bentuk umum :
f : x → ax atau y = f(x) = ax
beberapa hal yang perlu diperhatikan pada fungsi eksponen y = f(x) = ax
f(x) = ax disebut rumus atau aturan bagi fungsi eksponen beku atau fungsi eksponen standar.
a disebut bilangan pokok atau basis bagi fungsi f(x) = ax, dengan ketentuan :
A > 0 dan a ≠ 1 (0 < a < 1 atau a >1 )
peubah x dinamakan peubah bebas atau variable bebas (independent variable) dan himpunan dari semua peubah x disebut daerah asal atau domain fungsi fungsi f, ditulis: D_f = {x ǀ x ϵ R }
peubah y dinamakan peubah bergantung atau variable tak bebas (dependent variable) dan himpunan dari semua peubah y disebut daerah hasil atau wilayah hasil atau range fungsi f, ditulis: W_f = { y ǀ y > 0 dan y ϵ R }
Persamaan Eksponen
Definisi Persamaan Eksponen
Persamaan eksponen adalah persamaan yang eksponennya mengandung peubah x dan tidak menutup kemungkinan bilangan pokoknya juga mengandung peubah x.
Dalam pasal-pasal berikut ini dibahas beberapa macam bentuk persamaan eksponen disertai cara menentukan penyelesaian.
Bentuk a^(f(x)) = ap
Himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen af(x) = ap dapat ditentukan dengan menggunakan sifat berikut.
Jika a^(f(x)) = ap (a > 0 dan a ≠ 1), maka f(x) = p
Bentuk 〖 a〗^f(x) = a^g(x)
Himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen a^f(x) = a^g(x) dapat ditentukan dengan menggunakan sifat berikut:
Jika a^f(x) = a^g(x) ( a> 0 dan a ≠ 1 ), maka f(x) = g(x)
Bentuk a^f(x) = b^f(x)
Himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen a^f(x) = b^f(x) , dengan a ≠ b, dapat ditentukan dengan menggunakan sifat berikut.
Jika a^f(x) = b^f(x) ( a> 0 dan a ≠ 1, b > 0 dan b ≠ 1, dan a ≠ b), maka f(x) = 0
Bentuk 〖{h(x)}〗^(f(x)) = 〖{h(x)}〗^(g(x))
Himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen 〖{h(x)}〗^(f(x)) = 〖{h(x)}〗^(g(x)) dapat ditentukan dengan menggunakan sifat berikut.
Jika {h(x)}f(x) = {h(x)}g(x), maka kemungkinannya adalah
f(x) = g(x)
h(x) = 1
h(x) = 0, asalkan f(x) dan g(x) keduanya positif
h(x) = -1,asalkan f(x) dan g(x) keduanya ganjil atau f(x) dan g(x) keduanya.
Bentuk A{af(x)}2 + B{af(x) + C = 0
Himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen A{af(x)}2 + B{af(x) + C = 0 (a > 0 dan a ≠ 1, A, B, dan C bilangan real dan A≠ 0) dapat ditentukan dengan cara mengubah persamaan eksponen itu kedalam persamaan kuadrat.
Pertidaksamaan Eksponen
Definisi pertidaksamaan eksponen
Pertidaksamaan eksponen adalah pertidaksamaan yang eksponennya mengandung peubah x, dan tidak menutup kemungkinan bilangan pokoknya juga mengandung peubah x.
Penyelesaian dari pertidaksamaan eksponen menggunakan sifat fungsi monoton naik dan sifat fungsi monoton turun pada fungsi-fungsi eksponen baku.
Sifat fungsi monoton naik (a > 1)
Jika af(X ) ≥ ag(x), maka f(x) ≥ g (x)
Jika af(x) ≤ ag(x), maka f(x) ≤ g(x)
Sifat fungsi monoton turun (0 < a < 1)
Jika af(x) ≥ ag(x), maka f(x) ≤ g(x)
Jika af(x) ≤ ag(x), maka f(x) ≥ g(x)
LOGARITMA
PENGERTIAN LOGARITMA
Misalnya a adalah bilangan positif (a > 0) dan g adalah bilangan positif yang tidak sama dengan 1 (g > 0 dan g ≠ 1). Logaritma a dengan bilangan pokok g (ditulis: glog a) adalah eksponen yang akan dimiliki oleh a jika bilangan a ini dinyatakan dalam bentuk bilangan berpangkat dengan bilangan pokok g.
Ditulis :
glog a = x jika dan hanya jika a = gx
dari definisi diatas jelas bahwa a = gx dan glog a = x merupakan dua buah hubungan yang ekuivalen atau setara. Ini berarti setiap betuk bilangan berpangkat dapat diubah kebentuk logaritma, dan sebaliknya. Bentuk a = gx dinamakan bentuk eksponen sial dan bentuk glog a = x dinamakan bentuk logaritma.
Selain itu beberapa ketentuan yang harus dipahami dalam logaritma diantaranya adalah:
Bilangan pokok atau basis logaritma g ditetapkan positif dan tidak sama dengan 1 (g > 0 dan g ≠ 1).
Untuk g = 10, biasanya bilangan pokok ini tidak dituliskan, jadi log 5 yang dimaksud adalah 10log 5.
Untuk g = e ( e bilangan irasional dengan e ≅ 2.71828. . .), elog a = ln a ( dibaca: logaritma natural dari a ) yaitu logaritma dengan bilangan pokok e.
Bilangan yang dicari logaritmanya a disebut numerous, dengan a bernilai positif (a > 0)
Hasil logaritma x dapat bernilai positif ,nol, ataupun negatif.
Beberapa sifat dasar logaritma :
glog gn = n, g log g = 1, dang log 1 = 0
SIFAT-SIFAT LOGARITMA
Logaritma dari suatu hasil kali dua bilangan sama dengan jumlah kedua logaritmanya, yaitu :
alog (m×n) = alog m + alog n
bukti :
misal alog m = x dan alog n = y. sehingga, ax = m dan ay = n
dengan mengalikan ax = m dan ay = n, diperoleh
ax+y = m×n
↔ alog (m×n) = x+y = alog m + alog n [ terbukti ]
Logaritma dari suatu hasil bagi dua bilangan sama dengan selisih kedua logaritmanya, yaitu :
alogm/n = alog m – alog n
bukti :
misal alog m = x dan alog n = y. sehingga, ax = m dan ay = n
dengan membagi ax = m dengan ay = n, diperoleh
ax-y = m/n
↔ alog m/n = x – y = alog m – alog n [ terbukti ]
Logaritma dari suatu bilangan berpangkat sama dengan hasil kali dari pangkat dan bilangan tersebut, yaitu :
alogmn= n×alog m
bukti :
misal alog m = x. artinya ax = m. sehingga,
(a^x )^n = mn
↔ anx = mn
↔ alog mn = n × x = n × alog m [ terbukti ]
aalog b = b dan 〖a^n〗_(〖logb〗^m ) = m/(n ) alog b
g log a × a log b = g log b
FUNGSI LOGARITMA
Fungsi logaritma dengan bilangan pokok a ( a> 0 dan a ≠ 1 ) adalah fungsi yang mempunyai bentuk umum :
Y = f(x) = a log x
Fungsi logaritma y = f(x) = a log x merupakan fungsi invers dari fungsi eksponen y = f(x) = ax.
Beberapa hal yang perlu diperhatikan pada fungsi logaritma y = f(x) = a log x.
f(x) = a log x disebut rumus atau aturan bagi fungsi logaritma standar.
a adalah bilangan pokok atau basis bagi fungsi f(x) = a log x, dengan ketentuan :a> 0 dan a ≠ 1 (0 < a < 1 atau a > 1).
Daerah asal (domain) fungsi f(x) = a log x adalah Df = { x׀ x > 0 dan x ϵ R }.
Wilayah hasil (range) fungsi f(x) = a log x adalahWf = {y ǀ y ϵ R}.
PERSAMAAN LOGARITMA
Definisi persamaan logaritma
Persamaan logaritma adalah persamaan yang numerusnya mengandung variable x dan tidak menutup kemungkinan bilangan pokoknya juga mengandung variable x.
Dalam pasal-pasal berikut ini akan dibahas beberapa macam bentuk persamaan logaritma disertai cara-cara menentukan penyelesaiannya.
Bentuk a log f(x) = a log p
Himpunan penyelesaian dari persamaan logritmaa log f(x) = a log p dapat ditentukan dengan menggunakan sifat berikut.
Jika a log f(x) = a log p maka f(x) = p asalkan f(x) > 0
Bentuk a log f(x) = b log f(x)
Himpunan penyelesaian dari persamaan logaritma alog f(x) = b log f(x) (dengan a ≠ b) dapat ditentukan dengan menggunakan sifat berikut.
Jika a log f(x) = b log f(x) (dengan a ≠ b) maka f(x) = 1
Bentuk a log f(x) = a log g(x)
Himpunan penyelesaian dari persamaan logaritma alog f(x) = a log g(x) dapat ditentukan dengan menggunakan sifat berikut.
Jika a log f(x) = a log g(x) makaf(x) = g(x) asalkan f(x) dan g(x) keduanya positif
PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA
Definisi pertidaksamaan logaritma
Pertidaksamaan logaritma adalah pertidaksamaan yang numerusnya mengandung variable x dan tidak menutup kemungkinan bilangan pokoknya juga mengandung variable x.
Penyelesaian dari pertidaksamaan logaritma menggunakan sifat fungsi monoton naik dan sifat monoton turun pada fungsi-fungsi logaritma standar. Sifat-sifat ini sebagai berikut:
Sifat fungsi logaritma monoton naik (a > 1)
Jika a log f(x) ≥ a log g(x) maka f(x) ≥ g(x) ; f(x) dan g(x) > 0
Jika a log f(x) ≤ a log g(x) maka f(x) ≤ g(x) ; f(x) dan g(x) > 0
Sifat fungsi logaritma monoton turun (0 < a < 1)
Jika a log f(x) ≥ a log g(x) maka f(x) ≤ g(x) ; f(x) dan g(x) > 0
Jika a log f(x) ≤ a log g(x) maka f(x) ≥ g(x) ; f(x) dan g(x) > 0
CONTOH SOAL
1. Dengan merasionalkan penyebut, bentuk sederhana dari adalah …
A. 2 – 3B.
3 – 3
C. 3 – 2
D. 4 – 2
E. 4 + 2
PEMBAHASAN :
= x
=
= 2 – 3
JAWABAN : A
2. = …
A. 24 32B. 27 32C. 26 35
D. 28 32
E. 28 35
PEMBAHASAN :
= 23 3-2 2 34
= 23+1 3-2+4
= 24 32
JAWABAN : A
3. Bentuk pangkat bulat positif dari adalah …
A. B. C.
D.
E.
PEMBAHASAN :
=
JAWABAN : B
4. Dengan merasionalkan penyebut, bentuk sederhana dari adalah …
A. –7 – 4 B. –7 – C. 7 – 4
D. 7 + 4
E. 7 –
PEMBAHASAN :
=
=
= 7 – 4
JAWABAN : C
5. Nilai x yang memenuhi persamaan 4x+1 = 8x-1 adalah …
A. 3B. 4C. 5
D. 6
E. 7
PEMBAHASAN :
4x+1 = 8x-1
22(x+1) = 23(x-1)
22x+2 = 23x-3
2x + 2 = 3x – 3
5 = x
JAWABAN : C
6. Nilai dari 2log 3 – 2log 6 + 2log 8 = …
A. 1B. 2C. 3
D. 4
E. 5
PEMBAHASAN :
2log 3 – 2log 6 + 2log 8 = 2log [(3 : 6) x 8]
= 2log 4
= 2log 22
= 2 2log 2
= 2
JAWABAN : B
7. Jika 2log 3 = x dan 3log 5 = y , maka 4log 15 = …
A. xy + 1B. C.
D.
E.
PEMBAHASAN :
4log 15 =
=
=
=
=
=
=
JAWABAN : C
8. Jika = a + b dengan a dan b bilangan bulat, maka a + b = …
A. -5B. -3C. -2
D. 2
E. 3
PEMBAHASAN :
=
=
=
= -5 + 2
jadi a = -5 dan b = 2, sehingga
a + b = -5 + 2 = -3
JAWABAN : B
9. Jika 2log a + 2log b = 12 dan 3.2log a – 2log b = 4, maka a + b = …
A. 144B. 272C. 528
D. 1.024
E. 1.040
PEMBAHASAN :
2log a + 2log b = 12
2log [a.b] = 12
a.b = 212 … (i)
3.2log a – 2log b = 4
2log a3 – 2log b = 4
2log [a3 : b] = 4
a3 : b = 24
a3 : 24 = b … (ii)
substitusi (ii) ke (i), diperoleh
a.[ a3 : 24] = 212
a4 = 212.24
a4 = 216
a = 24 … (iii)
substitusi (iii) ke (ii), sehingga diperoleh
(24)3 : 24 = b
28 = b
a + b = 24 + 28
= 16 + 256
= 272
JAWABAN : B
10. Jika a = 8 dan b = 9, maka a-1/3.b1/2 = …
A. 4/3B. 4/3C. 2/3
D. 3/4
E. 3/2
PEMBAHASAN :
a-1/3.b1/2 = 8-1/3.91/2
= (23)-1/3.(32)1/2
= 2-1.3
= 3/2
JAWABAN : E
1. Barisan Bilangan
Perhatikan susunan bilangan berikut :
a. 1, 2, 3, 4, 5,…; dinamakan barisan bilangan asli
b. 2, 4, 6, 8, 10,…; dinamakan barisan bilangan asli genap
c. 1, 3, 6, 10, 15,…; dinamakan barisan bilangan segitiga
d. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,…; dinamakan barisan bilangan Fibonacci
Bilangan-bilangan yang membentuk suatu barisan disebut suku-suku barisan. Bilangan pertama atau suku pertama dilambangkan dengan u1, suku kedua dengan u2, suku ketiga dengan u3, suku ke-k dengan uk,…, demikian seterusnya sampai suku ke-n dengan un (n bilangan asli).
Indeks n menyatakan banyaknya suku dalam barisan itu. Untuk nilai n bilangan asli berhingga, barisan itu dinamakan barisan berhingga. Suku ke-n dilambangkan dengan undisebut suku umum barisan. Pada umumnya, suku ke-n atau un merupakan fungsi dengan daerah asal (domain) bilangan asli n.
Barisan bilangan adalah susunan bilangan yang memiliki pola atau aturan tertentu antara satu bilangan dengan bilangan berikutnya. Jika bilangan pertama u1, bilangan kedua u2, bilangan ketiga u3, …, dan bilangan ke-n adalah un, maka barisan bilangan itu dituliskan sebagai
u1, u2, u3, ... , uk, ... , un
Contoh :
1) Tentukan tiga suku pertama pada barisan berikut ini, jika suku ke-n dirumuskan sebagai un = 3n + 1
Jawab :
Suku ke-n, un = 3n + 1
Untuk n = 1, diperoleh u1 = 3(1) + 1 = 4
n = 2, diperoleh u2 = 3(2) + 1 = 7
n = 3, diperoleh u3 = 3(3) + 1 = 10
Jadi, tiga suku pertama barisan itu adalah u1 = 4, u2 = 7, dan u3 = 10.
1) Tentukan rumus umum suku ke-n untuk barisan berikut ini, jika empat buah suku pertama diketahui sebagai berikut.
a) 4, 6, 8, 10, . . . b) 1, 9, 25, 49, . . .
Jawab :
a) 4, 6, 8, 10, . . .; barisan dengan suku pertama u1 = 4 dan selisih dua suku yang berurutan bernilai konstan sama dengan 2.
Jadi, un = 2n + 2
b) 1, 9, 25, 49, . . .; dapat ditulis sebagai (1)2, (3)2, (5)2, (7)2, ...; barisan dengan suku-sukunya merupakan kuadrat dari bilangan asli ganjil.
Jadi, un = (2n – 1)2.
2. Deret
Perhatikan kembali barisan Jika suku-suku tersebut dijumlahkan dalam bentuk u1, u2, u3, ... , uk, ... , un, maka penjumlahan barisan tersebut dinamakan deret. Jumlah suku-suku pada barisan hingga n suku pertama dinyatakan dengan Sn. Misalnya jumlah 5 suku pertama ditulis Sn = u1 + u2 + u3 + u4 + u5 .
Contoh :
1) Diketahui suatu deret 2 + 4 + 6 + …, hitunglah jumlah 5 suku pertama.
Jawab:
Sn = 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30
Jadi, jumlah 5 suku pertama deret tersebut adalah 30.
B. Barisan Aritmatika
Perhatikan barisan aritmatika 1, 3, 5, 7,… dan 2, 4, 6, 8,….; setiap selisih anatara dua suku yang berurutat adalah tetap nilainya yaitu:
3-1 = 5-3 = 7-5 =…= 2
4-2 = 6-4 = 8-6 =…= 2
Secara umum u1, u2, u3, ... , un adalah barisan aritmatika apabila u2 – u1 = u3 – u2 = u4 – u3 =konstanta. Konstanta ini disebut beda dan dinyatakan dengan b.
Sehingga barisan aritmatika dapat kita definisikan sebagai berikut:
Barisan aritmatika adalah suatu barisan dengan selisih (beda) antara dua suku yang berurutan selalu tetap. Bentuk umum :
u1, u2, u3, ... , un atau
a, ( a + b ), ( a + 2b ), ... , (a + (n – 1) b)
Pada barisan aritmatika, berlaku un – un-1 = b , sehingga un = un-1 + b.
a. Rumus umum suku ke-n pada Barisan Aritmatika
Misalkan suatu barisan aritmatika dengan suku pertama a dan beda b, maka suku barisan itu dapat divisualisasikan sebagai berikut :
I u1 = a
I u2 = a + b
I u3 = a + 2b
I u4 = a + 3b
I un = a + ( n -1 ) b
Berdasarkan pola atau keteraturan suku-suku barisan di atas, maka rumus suku ke-n untuk barisan aritmatika dapat ditentukan dengan hubungan berikut.
Misalkan suatu barisan aritmatika dengan suku pertama a dan beda b, rumus umum suku ke-n dari barisan aritmatika itu ditentukan oleh :
I un = a + ( n -1 ) b
Contoh :
1) Carilah suku pertama, beda, dan suku ke-6 dari barisan aritmatika 4, 1, -2, -5, . . .
Jawab :
Barisan 4, 1, -2, -5, …
Suku pertama u1 = a = 4,
Beda b = 1 – 4 = -3,
Suku ke-6 u6 = a + 5b = 4 + 5(-3) = -11
Jadi, suku pertama a = 4, beda b = -3, dan suku ke-6 adalah u6 = 11
b. Suku tengah pada barisan aritmatika
Suku tengah suatu barisan aritmatika dapat ditentukan melalui deskripsi berikut ini.
Misalkan barisan aritmatika yang terdiri dari atas (2k-1) suku : u1, ... ,uk, ... , u2k-1, maka suku tengahnya adalah uk.
Suku tengah uk = a + (k-1) b = ½{2a+2(k-1)b} = ½{a+a+(2k-2)b} = ½ {u1 + u2k-1}. Jadi, suku tengahnya ditentukan oleh hubungan uk = ½ {u1+u2k-1}.
Contoh :
1) Diketahui barisan aritmatika 3, 5, 7, 9, …, 95. Banyak suku pada barisan itu adalah ganjil.
a) Carilah suku tengahnya
b) Suku keberapakah suku tengahnya itu?
c) Berapakah banyak suku barisan itu?
Jawab :
a) Barisan 3, 5, 7, 9, …, 95. Suku pertama a = u1 = 3, beda b = 2, dan suku terakhir u2k-1= 95.
uk = ½ (u1+u2k-1) = ½ (3 + 95) = 49
Jadi, suku tengahnya adalah 49.
b) Dari hasil a), diperoleh :
U uk = a + ( k-1) b = 49
⇔ 3 + (k-1)2 = 49
⇔ 2k = 48
⇔ k = 224
Jadi, suku tengahnya adalah suku ke-24.
c) Banyaknya suku barisan itu sama dengan 2k – 1 = 2(24) – 1 = 47.
c. Sisipan pada barisan aritmatika
Misalkan diantara dua bilangan real x dan (dengan x ≠ y ) akan disisipkan sebanyak k buah bilangan ( k bilangan asli). Bilangan – bilangan semula dengan bilangan-bilangan yang disisipkan itu membentuk suatu barisan aritmatika. Susunan bilangan-bilangan semula dengan bilangan-bilangan yang disisipkan dapat divisualisasikan dengan menggunakan bagan sebagaimana diperlihatkan berikut ini.
Di antara dua bilangan x dan y disisipkan sebanyak k buah bilangan sehingga bilangan-bilangan semula dengan bilangan-bilangan yang disisipkan membentuk barisan aritmatika. Nilai beda barisan aritmatika yang terbentuk dapat ditentukan dengan menggunakan hubungan
b =( y – x) / (k + 1)
Dengan x dan y bilangan real (x ≠ y ) dan k bilangan asli.
Contoh :
1) Di antara bilangan 4 dan 28 disisipkan 5 buah bilangan sehingga bilangan-bilangan semula dengan bilangan-bilangan yang disisipkan membentuk barisan aritmatika. Carilah beda dari barisan aritmatika yang terbentuk.
Jawab :
Diketahui x = 4, y = 28, dan k = 5
Didapat b =( y – x) / (k + 1) = (28-4)/(5+1)=4
Jadi, beda barisan aritmatika yang terbentuk adalah b =4 .
A. Deret Aritmatika
Jumlah beruntun suku-suku suatu barisan aritmatika disebut sebagai deret aritmatika. Sebagai contoh :
· Dari barisan aritmatika 1, 3, 5, 7, …, 99 dapat dibentuk deret aritmatika 1 + 3 + 5 + 7 + … + 99,
· Dari barisan aritmatika 2, 4, 6, 8, …, 2n dapat dibentuk deret aritmatika 2 + 4 + 6 + 8 + … + 2n.
Dari contoh di atas dapat disimpulkan, jika u1, u2, u3, ... , un, merupakan suku – suku barisan aritmatika, maka u1 + u2 + u3 + ... + un dinamakan sebagai deret aritmatika.
a. Rumus jumlah n suku pertama deret aritmatika
Jumlah n suku pertama deret aritmatika dilambangkan dengan Sn , dan Sn ditentukan oleh :
Sn = u1 + u2 + u3 + ... + un-2 + un-1 + un
Substitusikan u1 = a, u2 = a+b, u3 = a+2b , un-2 = un – 2b, un-1 =un – b; diperoleh
Sn = a + (a+b) + (a+2b) + ... + (un – 2b) + (un – b) + un …(*)
Jika urutan suku-suku penjumlahan pada persamaan (*) itu dibalik, diperoleh:
Sn = un + (un – b) + (un – 2b) + ... + (a+2b) + (a+b) + a … (**)
Jumlahkan masing masing ruas pada persamaan (*) dengan persamaan (**), sehingga diperoleh :
Berdasarkan hasil perhitungan tersebut, jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika dapat ditentukan melalui hubungan sebagai berikut.
Jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika u1 + u2 + u3 + ... + un ditentukan dengan menggunakan hubungan :
Sn = n/2 (a+ un)
Dengan n = banyak suku, a = suku pertama, dan un = suku ke-n.
a. Sifat-sifat Sn pada deret aritmatika
Jumlah n suku pertama deret aritmatika mempunyai sifat-sifat sebagai berikut.
1. Sn = n/2 (a+ un) merupakan fungsi kuadrat dari n (n bilangan asli) yang tidak memiliki suku tetapan.
2. Untuk setiap n bilangan asli berlaku hubungan Sn - Sn-1 = un (Suku ke-n).
Contoh :
1) Hitunglah jumlah deret aritmatika 2 + 4 + 6 + … + 60.
Jawab :
Untuk menghitung jumlah deret pada soal di atas, perlu ditentukan terlebih dulu banyak suku atau n melalui hubungan un = a + (n-1)b.
2 + 4 + 6 + … + 60, a = 2, b = 2, dan un = 60
60 = 2 + (n-1) 2
⇔ 60 = 2n
⇔ n = 30
S30 = 30/2 (a+ u30) = 15(2+60) = 930
Jadi, jumlah deret aritmatika 2 + 4 + 6 + … + 60 adalah S30 = 930
Contoh Soal
1.)Sebuah barisan aritmatika memiliki jumlah suku ganjil. Jika suku pertamanyanya 4 dan suku terakhirnya adalah 20, maka suku tengahnya adalah:
a. 12
b. 8
c. 10
d. 16
Pembahasan
a = 4
Un = 20
Ut= a + Un2 = 20 + 42= 12
Jawab : a
2.)Terdapat sebuah barisan aritmatika sebanyak tujuh suku. Jika suku pertama dan nilai bedanya adalah 2. Berapakah suku tengahnya ?
a. 9
b. 8
c. 10
d. 12
Pembahasan:
a = 2
b = 2
n = 7
Ut= a + (n-1)b2 Ut= a + (n-1)b2 = 2 + (7-1)22 = 8
Jawab : b
3.)Diketahui suatua barisan aritmatika :2, 5, 8, 11, 14, .........Un. Tentukan rumus suku ke-n dalam barisan aritmetika tersebut:
a. Un = 3n -1
a. Un = 3n -2
c. Un = 3n + 1
d. Un = 3n + 3
Pembahasan:
a = 2
b = 3
Un= a + (n-1)b
Un= 2 + (n-1)3 = 2 + 3n - 3 = 3n-1
Jawab : a
4.)Diketahui U2 + U4 = 12 dan U3 + U5 = 16, maka suku ke-7 barisan itu adalah
a. 15
b. 14
c. 12
d. 10
Pembahasan
Dari penjumlahan suku ke-2 dan ke-4 :
(1) U2 +U4 = 12
⇒ (a + b) + (a + 3b) = 12
⇒ 2 a + 4b = 12
⇒ a + 2b = 6
Dari penjumlahan suku ke-3 dan ke-5 :
(2) U3 + U5 = 16
⇒ (a + 2b) + (a + 4b) = 16
⇒ 2a + 6b = 16
⇒ a + 3b = 8
Langkah berikutnya, kita akan melakukan substitusi persamaa 1 ke persamaan 2:
a + 2b = 6
a = 6 – 2b.... substitusi ke persamaan (2)
Persamaan (2):
a + 3b = 8
⇒ 6 – 2b + 3b = 8
⇒ 6 + b = 8
⇒ b = 2
Karena b = 2, maka a = 6 – 2(2) = 6 – 4 = 2.
Jadi, suku pertama barisan itu adalah 2 dan suku ke-7 barisan aritmatika tersebut adalah :
U7 = a + 6b
⇒ U7 = 2 + 6(2) ⇒ U7 = 14
Jawab: b
5.)Dalam sebuah barisan aritmatika diketahui suku kedua adalah 5 dan suku kelima adalah 14. Maka berapakah jumlah 10 suku pertama dari barisan aritmatika tersebut ?
a. 210
b. 300
c. 430
d. 155
Pembahasan:
Suku Kedua :
⇒ U2 = 5
⇒ a + b = 5
⇒ a = 5 - b...(Persamaan 1)
Suku Kelima :
⇒ U5 = 14
⇒ a + 4b = 14...(Persamaan 2)
Substitusi Persamaan 1 ke Persamaan 2
⇒ a + 4b = 14
⇒ 5 - b + 4b = 14
⇒ 3b = 9
⇒ b = 3
Jadi a = 5 -b
⇒ a = 5 - 3 = 2
Jumlah 10 suku pertama:
⇒ Sn=n2 (a+Un)
⇒ S10=102 (a+U10)
⇒ S10= 5 (a + a + 9b)
⇒ S10= 5 (2 + 2 + 9.3)
⇒ S10= 155
Jawab: d
6.)Diketahui sebuah barisan geometri 3, 6, 12....maka suku ketujuh dari barisan geometri tersebut :
a. 128
b. 192
c. 64
d. 190
Pembahasan
a = 3
r = 2
Un = ar(n-1)
⇒ 3.2(7-1)
⇒ 3.2(7-1)
⇒ 192
Jawab : b
7.)Diketahui sebuah barisan geometri : 3, 9, 27, 81, 243. Berapakah rasio barisan geometri tersebut :
a. 4
b. 3
c. 2
d. 9
Pembahasan
Kita ambil dua bilangan terakhir yaitu : 81 dan 243, maka:
Un = 243
U(n-1) = 81
Sehingga nilai rasio (r) :
r = UnU(n-1) = 24381 = 3
Jawab :b
8.)Diketahui sebuah barisan geometri : 5, 10, 20, 40, 80, .... , 5120. Nilai suku tengahnya adalah :
a. 160
b. 320
c. 510
d. 640
Pembahasan
a = 5
Un = 5120
Ut = √a . Un
Ut = √5 . 5120 = √25600 = 160
Jawab :a
9.)Terdapat sebuah barisan geometri sebanyak lima suku. Jika suku pertamanya adalah 3 dan rasionya adalah 3. Berapakah suku tengahnya ?
a. 27
b. 81
c. 243
d. 9
Pembahasan
a = 3
r = 3
n = 5
Ut = √a . rn = √3 . 35=729 = 27
Jawab : a
10.)Diketahui suatu barisan aritmatika suku pertamanya adalah 4 dan suku ke-20 adalah 61. Tentukan beda barisan aritmatika tersebut!
a.5
b.7
c.8
d.4
e.3
Penyelesaian:
a = 4
U20 = 61
Un = a + (n-1) b
U20 = 4 + (20-1) b
61 = 4 + (19)b
61-4 = 19b
U20 = 61
Un = a + (n-1) b
U20 = 4 +(20-1) b
61 = 4 + (20-1) b
61 – 4 = 19b
57 = 19b
b = 57/19 = 3
Jawab: d
2.)LOGARITMA DAN EKSPONEN
EKSPONEN
Pengertian Eksponen
Eksponen merupakan perkalian bilangan yang sama secara berulang. Sebagai contoh, jika kita mengalikan angka 7 secara berulang sebanyak 4 kali, yaitu 7×7×7×7, kita dapat menuliskannya dengan 74 = 2401
Secara umum, an = a×a×a….×a dengan a sebanyak n kali. Artinya, kita mengalikan a secara berulang sebanyak n kali. (an dibaca “a pangkat n”).
Eksponen biasa juga disebut dengan pangkat. Pada perpangkatan an, a disebut sebagai basis bilangan pokok dan n disebut sebagai pangkat.
Sifat-Sifat Eksponen:
Eksponen bilangan bulat positif, yaitu :
am × an = am+n
Secara umum untuk mengalikan bilangan-bilangan berpangkat dengan bilangan pokok sama, jumlahkan pangkatnya saja sedangkan bilangan pokoknya tetap sama.
Misalkan : a3×a4 = (a×a×a) × (a×a×a×a) = a3+4 = a7
(am)n = amn
Untuk mencari pemangkatan dari suatu bilangan berpangkat, kalikan pangkatnya saja sedangkan bilangan pokoknya tetap sama.
Misalkan : (a5)2 = a5×2 = a10
a^m/a^n = am-n (m>n dan a≠0)
Untuk membagikan bilangan-bilangan berpangkat dengan bilangan pokok sama, kurangkan pangkatnya saja sedangkan bilangan pokoknya tetap sama.
Misalkan : 3^7/3^4 = 3^(7-4) = 3^3 = 27
(ab)m = am × bm
Untuk memangkatkan suatu hasil kali, pangkatkan setiap faktor dari hasil kali tersebut dengan pangkatnya.
Misalkan : (2×4)3 = 2^3×4^3=8×64= 512
(a/b)^m = a^m/b^m (b≠0)
Untuk memangkatkan suatu hasil bagi, pangkatkan pembilang dan penyebut dari hasil bagi tersebut dengan pangkatnya.
Misalkan :(6/3)^3=6^3/3^3 = 216/27 = 8
Eksponen bulat negatif dan nol :
a0 = 1 jika a ≠ 0
misal p = 0
diperoleh : ap × aq = ap+q = a0+q = aq
a0 × aq = 1 × aq = aq
jadi a0 = 1
a-n = 1/a^n
Eksponen rasional :
a^(m/n) = (√(n&a))^m = √(n&a^m ) jadi a^(m/n)= √(n&a^m )
(√(n&a))^n= a
√(n&ab) = √(n&a) × √(n&b)
√(n&a/b) = √(n&a)/√(n&b)
a^(1/n) = √(n&a) (dimana n adalah bilangan bulat positif)
√(m&√(n&a)) = √(mn&a)
Fungsi Eksponen
Fungsi basis a adalah fungsi yang mempunyai bentuk umum :
f : x → ax atau y = f(x) = ax
beberapa hal yang perlu diperhatikan pada fungsi eksponen y = f(x) = ax
f(x) = ax disebut rumus atau aturan bagi fungsi eksponen beku atau fungsi eksponen standar.
a disebut bilangan pokok atau basis bagi fungsi f(x) = ax, dengan ketentuan :
A > 0 dan a ≠ 1 (0 < a < 1 atau a >1 )
peubah x dinamakan peubah bebas atau variable bebas (independent variable) dan himpunan dari semua peubah x disebut daerah asal atau domain fungsi fungsi f, ditulis: D_f = {x ǀ x ϵ R }
peubah y dinamakan peubah bergantung atau variable tak bebas (dependent variable) dan himpunan dari semua peubah y disebut daerah hasil atau wilayah hasil atau range fungsi f, ditulis: W_f = { y ǀ y > 0 dan y ϵ R }
Persamaan Eksponen
Definisi Persamaan Eksponen
Persamaan eksponen adalah persamaan yang eksponennya mengandung peubah x dan tidak menutup kemungkinan bilangan pokoknya juga mengandung peubah x.
Dalam pasal-pasal berikut ini dibahas beberapa macam bentuk persamaan eksponen disertai cara menentukan penyelesaian.
Bentuk a^(f(x)) = ap
Himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen af(x) = ap dapat ditentukan dengan menggunakan sifat berikut.
Jika a^(f(x)) = ap (a > 0 dan a ≠ 1), maka f(x) = p
Bentuk 〖 a〗^f(x) = a^g(x)
Himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen a^f(x) = a^g(x) dapat ditentukan dengan menggunakan sifat berikut:
Jika a^f(x) = a^g(x) ( a> 0 dan a ≠ 1 ), maka f(x) = g(x)
Bentuk a^f(x) = b^f(x)
Himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen a^f(x) = b^f(x) , dengan a ≠ b, dapat ditentukan dengan menggunakan sifat berikut.
Jika a^f(x) = b^f(x) ( a> 0 dan a ≠ 1, b > 0 dan b ≠ 1, dan a ≠ b), maka f(x) = 0
Bentuk 〖{h(x)}〗^(f(x)) = 〖{h(x)}〗^(g(x))
Himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen 〖{h(x)}〗^(f(x)) = 〖{h(x)}〗^(g(x)) dapat ditentukan dengan menggunakan sifat berikut.
Jika {h(x)}f(x) = {h(x)}g(x), maka kemungkinannya adalah
f(x) = g(x)
h(x) = 1
h(x) = 0, asalkan f(x) dan g(x) keduanya positif
h(x) = -1,asalkan f(x) dan g(x) keduanya ganjil atau f(x) dan g(x) keduanya.
Bentuk A{af(x)}2 + B{af(x) + C = 0
Himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen A{af(x)}2 + B{af(x) + C = 0 (a > 0 dan a ≠ 1, A, B, dan C bilangan real dan A≠ 0) dapat ditentukan dengan cara mengubah persamaan eksponen itu kedalam persamaan kuadrat.
Pertidaksamaan Eksponen
Definisi pertidaksamaan eksponen
Pertidaksamaan eksponen adalah pertidaksamaan yang eksponennya mengandung peubah x, dan tidak menutup kemungkinan bilangan pokoknya juga mengandung peubah x.
Penyelesaian dari pertidaksamaan eksponen menggunakan sifat fungsi monoton naik dan sifat fungsi monoton turun pada fungsi-fungsi eksponen baku.
Sifat fungsi monoton naik (a > 1)
Jika af(X ) ≥ ag(x), maka f(x) ≥ g (x)
Jika af(x) ≤ ag(x), maka f(x) ≤ g(x)
Sifat fungsi monoton turun (0 < a < 1)
Jika af(x) ≥ ag(x), maka f(x) ≤ g(x)
Jika af(x) ≤ ag(x), maka f(x) ≥ g(x)
LOGARITMA
PENGERTIAN LOGARITMA
Misalnya a adalah bilangan positif (a > 0) dan g adalah bilangan positif yang tidak sama dengan 1 (g > 0 dan g ≠ 1). Logaritma a dengan bilangan pokok g (ditulis: glog a) adalah eksponen yang akan dimiliki oleh a jika bilangan a ini dinyatakan dalam bentuk bilangan berpangkat dengan bilangan pokok g.
Ditulis :
glog a = x jika dan hanya jika a = gx
dari definisi diatas jelas bahwa a = gx dan glog a = x merupakan dua buah hubungan yang ekuivalen atau setara. Ini berarti setiap betuk bilangan berpangkat dapat diubah kebentuk logaritma, dan sebaliknya. Bentuk a = gx dinamakan bentuk eksponen sial dan bentuk glog a = x dinamakan bentuk logaritma.
Selain itu beberapa ketentuan yang harus dipahami dalam logaritma diantaranya adalah:
Bilangan pokok atau basis logaritma g ditetapkan positif dan tidak sama dengan 1 (g > 0 dan g ≠ 1).
Untuk g = 10, biasanya bilangan pokok ini tidak dituliskan, jadi log 5 yang dimaksud adalah 10log 5.
Untuk g = e ( e bilangan irasional dengan e ≅ 2.71828. . .), elog a = ln a ( dibaca: logaritma natural dari a ) yaitu logaritma dengan bilangan pokok e.
Bilangan yang dicari logaritmanya a disebut numerous, dengan a bernilai positif (a > 0)
Hasil logaritma x dapat bernilai positif ,nol, ataupun negatif.
Beberapa sifat dasar logaritma :
glog gn = n, g log g = 1, dang log 1 = 0
SIFAT-SIFAT LOGARITMA
Logaritma dari suatu hasil kali dua bilangan sama dengan jumlah kedua logaritmanya, yaitu :
alog (m×n) = alog m + alog n
bukti :
misal alog m = x dan alog n = y. sehingga, ax = m dan ay = n
dengan mengalikan ax = m dan ay = n, diperoleh
ax+y = m×n
↔ alog (m×n) = x+y = alog m + alog n [ terbukti ]
Logaritma dari suatu hasil bagi dua bilangan sama dengan selisih kedua logaritmanya, yaitu :
alogm/n = alog m – alog n
bukti :
misal alog m = x dan alog n = y. sehingga, ax = m dan ay = n
dengan membagi ax = m dengan ay = n, diperoleh
ax-y = m/n
↔ alog m/n = x – y = alog m – alog n [ terbukti ]
Logaritma dari suatu bilangan berpangkat sama dengan hasil kali dari pangkat dan bilangan tersebut, yaitu :
alogmn= n×alog m
bukti :
misal alog m = x. artinya ax = m. sehingga,
(a^x )^n = mn
↔ anx = mn
↔ alog mn = n × x = n × alog m [ terbukti ]
aalog b = b dan 〖a^n〗_(〖logb〗^m ) = m/(n ) alog b
g log a × a log b = g log b
FUNGSI LOGARITMA
Fungsi logaritma dengan bilangan pokok a ( a> 0 dan a ≠ 1 ) adalah fungsi yang mempunyai bentuk umum :
Y = f(x) = a log x
Fungsi logaritma y = f(x) = a log x merupakan fungsi invers dari fungsi eksponen y = f(x) = ax.
Beberapa hal yang perlu diperhatikan pada fungsi logaritma y = f(x) = a log x.
f(x) = a log x disebut rumus atau aturan bagi fungsi logaritma standar.
a adalah bilangan pokok atau basis bagi fungsi f(x) = a log x, dengan ketentuan :a> 0 dan a ≠ 1 (0 < a < 1 atau a > 1).
Daerah asal (domain) fungsi f(x) = a log x adalah Df = { x׀ x > 0 dan x ϵ R }.
Wilayah hasil (range) fungsi f(x) = a log x adalahWf = {y ǀ y ϵ R}.
PERSAMAAN LOGARITMA
Definisi persamaan logaritma
Persamaan logaritma adalah persamaan yang numerusnya mengandung variable x dan tidak menutup kemungkinan bilangan pokoknya juga mengandung variable x.
Dalam pasal-pasal berikut ini akan dibahas beberapa macam bentuk persamaan logaritma disertai cara-cara menentukan penyelesaiannya.
Bentuk a log f(x) = a log p
Himpunan penyelesaian dari persamaan logritmaa log f(x) = a log p dapat ditentukan dengan menggunakan sifat berikut.
Jika a log f(x) = a log p maka f(x) = p asalkan f(x) > 0
Bentuk a log f(x) = b log f(x)
Himpunan penyelesaian dari persamaan logaritma alog f(x) = b log f(x) (dengan a ≠ b) dapat ditentukan dengan menggunakan sifat berikut.
Jika a log f(x) = b log f(x) (dengan a ≠ b) maka f(x) = 1
Bentuk a log f(x) = a log g(x)
Himpunan penyelesaian dari persamaan logaritma alog f(x) = a log g(x) dapat ditentukan dengan menggunakan sifat berikut.
Jika a log f(x) = a log g(x) makaf(x) = g(x) asalkan f(x) dan g(x) keduanya positif
PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA
Definisi pertidaksamaan logaritma
Pertidaksamaan logaritma adalah pertidaksamaan yang numerusnya mengandung variable x dan tidak menutup kemungkinan bilangan pokoknya juga mengandung variable x.
Penyelesaian dari pertidaksamaan logaritma menggunakan sifat fungsi monoton naik dan sifat monoton turun pada fungsi-fungsi logaritma standar. Sifat-sifat ini sebagai berikut:
Sifat fungsi logaritma monoton naik (a > 1)
Jika a log f(x) ≥ a log g(x) maka f(x) ≥ g(x) ; f(x) dan g(x) > 0
Jika a log f(x) ≤ a log g(x) maka f(x) ≤ g(x) ; f(x) dan g(x) > 0
Sifat fungsi logaritma monoton turun (0 < a < 1)
Jika a log f(x) ≥ a log g(x) maka f(x) ≤ g(x) ; f(x) dan g(x) > 0
Jika a log f(x) ≤ a log g(x) maka f(x) ≥ g(x) ; f(x) dan g(x) > 0
CONTOH SOAL
1. Dengan merasionalkan penyebut, bentuk sederhana dari adalah …
A. 2 – 3B.
3 – 3
C. 3 – 2
D. 4 – 2
E. 4 + 2
PEMBAHASAN :
= x
=
= 2 – 3
JAWABAN : A
2. = …
A. 24 32B. 27 32C. 26 35
D. 28 32
E. 28 35
PEMBAHASAN :
= 23 3-2 2 34
= 23+1 3-2+4
= 24 32
JAWABAN : A
3. Bentuk pangkat bulat positif dari adalah …
A. B. C.
D.
E.
PEMBAHASAN :
=
JAWABAN : B
4. Dengan merasionalkan penyebut, bentuk sederhana dari adalah …
A. –7 – 4 B. –7 – C. 7 – 4
D. 7 + 4
E. 7 –
PEMBAHASAN :
=
=
= 7 – 4
JAWABAN : C
5. Nilai x yang memenuhi persamaan 4x+1 = 8x-1 adalah …
A. 3B. 4C. 5
D. 6
E. 7
PEMBAHASAN :
4x+1 = 8x-1
22(x+1) = 23(x-1)
22x+2 = 23x-3
2x + 2 = 3x – 3
5 = x
JAWABAN : C
6. Nilai dari 2log 3 – 2log 6 + 2log 8 = …
A. 1B. 2C. 3
D. 4
E. 5
PEMBAHASAN :
2log 3 – 2log 6 + 2log 8 = 2log [(3 : 6) x 8]
= 2log 4
= 2log 22
= 2 2log 2
= 2
JAWABAN : B
7. Jika 2log 3 = x dan 3log 5 = y , maka 4log 15 = …
A. xy + 1B. C.
D.
E.
PEMBAHASAN :
4log 15 =
=
=
=
=
=
=
JAWABAN : C
8. Jika = a + b dengan a dan b bilangan bulat, maka a + b = …
A. -5B. -3C. -2
D. 2
E. 3
PEMBAHASAN :
=
=
=
= -5 + 2
jadi a = -5 dan b = 2, sehingga
a + b = -5 + 2 = -3
JAWABAN : B
9. Jika 2log a + 2log b = 12 dan 3.2log a – 2log b = 4, maka a + b = …
A. 144B. 272C. 528
D. 1.024
E. 1.040
PEMBAHASAN :
2log a + 2log b = 12
2log [a.b] = 12
a.b = 212 … (i)
3.2log a – 2log b = 4
2log a3 – 2log b = 4
2log [a3 : b] = 4
a3 : b = 24
a3 : 24 = b … (ii)
substitusi (ii) ke (i), diperoleh
a.[ a3 : 24] = 212
a4 = 212.24
a4 = 216
a = 24 … (iii)
substitusi (iii) ke (ii), sehingga diperoleh
(24)3 : 24 = b
28 = b
a + b = 24 + 28
= 16 + 256
= 272
JAWABAN : B
10. Jika a = 8 dan b = 9, maka a-1/3.b1/2 = …
A. 4/3B. 4/3C. 2/3
D. 3/4
E. 3/2
PEMBAHASAN :
a-1/3.b1/2 = 8-1/3.91/2
= (23)-1/3.(32)1/2
= 2-1.3
= 3/2
JAWABAN : E
Komentar
Posting Komentar